$\bm{x}^{\bm{n}}$ を微分すると「 $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ 」になるのは何故？（２）

■ $\bm{y}=\bm{x}^{\bm{3}}$ の微分をせっせと計算してみる■

前ページで見てきた結果

　　　　 $\bm{y}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}=\bm{x}^{\bm{1}}$ を $\bm{x}$ で微分すると、「１」。

　　　　 $\bm{y}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}=\bm{x}^{\bm{2}}$ をｘで微分すると、「２ｘ」。

から考えると、 $y=f(x)=x^{3}$ をｘで微分したらどうなるか、もう予想がつくと思います。

果たして予想通りになるかどうか、少々面倒なのですが、計算してみることにします。

まず、定義式の分子「 $\text{⊿}y=f(x+$ Δ $x)-f(x)$ 」は、

　 $\text{⊿}\bm{y}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}+\text{⊿}\bm{x}\bm{)}-\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}=\bm{(}\bm{x}+$ ⊿ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}-\bm{x}^{\bm{3}}$

となります。

これを計算するために、 $(x+a)^{3}$ の展開式を思い出しておきましょう。

先ほど使った $(x+a)^{2}$ の結果を活用すると、

$\bm{(}\bm{x}+\bm{a}\bm{)}^{\bm{3}}=\bm{(}\bm{x}+\bm{a}\bm{)}(\bm{x}+\bm{a}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{(}\bm{x}+\bm{a}\bm{)}\bm{(}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{2}\bm{a}\bm{x}+\bm{a}^{\bm{2}}\bm{)}$

$=\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{2}\bm{a}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{x}\bm{a}^{\bm{2}}+\bm{a}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{2}\bm{a}^{\bm{2}}\bm{x}+\bm{a}^{\bm{3}}$

$=\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{3}\bm{a}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{a}^{\bm{2}}\bm{x}+\bm{a}^{\bm{3}}$

と出てきます。

この「ａ」の部分を $\text{⊿}x$ に置き換えれば、

　 $\bm{(}\bm{x}+\text{⊿}\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}=\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{3}\bm{(}\text{⊿}\bm{x}\bm{)}$ ・ $\bm{x}+\bm{3}\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}$ ・ $\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}$

です。

そうすると、 $\text{⊿}y=f(x+$ Δ $x)-f(x)$ は

　　　　 $\text{⊿}\bm{y}=\bm{(}\bm{x}+$ ⊿ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}-\bm{x}^{\bm{3}}$

　　　 $=\bm{(}\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{3}(\text{⊿}\bm{x})\text{・}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}\text{・}\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}\bm{)}-\bm{x}^{\bm{3}}$

　　　 $=\bm{3}(\text{⊿}\bm{x})\text{・}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}\text{・}\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}$

となって、 $x^{3}$ が消えてしまいました。

さらに、この式の各項に「 $\text{⊿}x$ 」が入っています。

これを括り出してしまうと、

　　　　　 $=$ ⊿ $\bm{x}\bm{(}\bm{3}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}$ ⊿ $\bm{x}\text{・}\bm{x}+\text{⊿}\bm{x}^{\bm{2}}\bm{)}$

という形にまとまります。

これが分子で、分母はΔｘですから、、ここでもまたΔｘが約分できます。

その結果、

　　　　 $\displaystyle \frac{\text{⊿ｙ}}{\text{⊿}\bm{x}}=\frac{\text{⊿}\bm{x}\bm{(}\bm{3}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{(}\text{⊿}\bm{x}\bm{)}\text{・}\bm{x}+\bm{(}\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}\bm{)}}{\text{⊿}\bm{x}}$

　　　　　　　 $=\bm{3}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{(}\text{⊿}\bm{x}\bm{)}\text{・}\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}$

となります。

これまでやってきたのと同じように、⊿ｘの値をどんどん小さくしていって、それこそゼロに限りなく近いくらい微々たる値にしたとすると、この式の中の「３（⊿ｘ）・ｘ」は非常に小さい値になるであろうと予想できます。

ましてや、その極々微々たる⊿ｘを２乗した値 $($ Δ $x)^{2}$ ともなれば、もはや「ゼロ」といってもいいくらいの値になるはずです。

たとえば、⊿ｘが0.00001だとすると、「 $3\times$ ⊿ $x$ 」の値は「0.00003」。

これにｘを掛けたとすると、少なくとも「 $3x^{2}$ 」に比べればかなり小さい値になることは間違いありません。

さらに $($ Δ $x)^{2}$ となると、小数点以下が２倍増えて「0.0000000001」です。

とすれば、⊿ｘを極々微々たる値にしたときには、もう「 $3$ （ $\text{⊿}x$ ）・ $x$ 」や「（ $\text{⊿}x)^{2}$ は無視できるくらいの値になって、数らしい数は「 $3x^{2}$ 」しかない、という状況になる、と考えてもよいのではないでしょうか。

実際に、 $x=1$ 、 $\text{⊿}x=0.0001$ で計算してみましょう。

$\displaystyle \frac{\text{⊿ｙ}}{\text{⊿}x}$ が「 $3x^{2}$ 」に近い値になるとすれば、計算の結果は「 $3\times 1^{2}$ ＝３」に近い値になると予想されます。

　　　　 $\displaystyle \frac{\text{⊿}\bm{y}}{\text{⊿}\bm{x}}=\frac{\bm{(}\bm{1}+\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{3}}-\bm{1}^{\bm{3}}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{3}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{3}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}=\bm{3}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{3}$

と、確かに、３に近い値が出てきました。

$x=2\text{、}$ ⊿ $x=0.0001$ としたらどうでしょうか。ちなみに、ｘが２ならば、 $3x^{2}$ は「12」です。

　　　 $\displaystyle \frac{\text{⊿}\bm{y}}{\text{⊿}\bm{x}}=\frac{\bm{(}\bm{2}+\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{3}}-\bm{2}^{\bm{3}}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}$

　　　　　　 $=\displaystyle \frac{\bm{8}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{6}-\bm{8}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}$

$=\displaystyle \frac{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{6}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}$

$=\bm{1}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{6}$

ちゃんと「12」近い値になってくれています。

⊿ｘをもっともっと小さい値にすれば、さらに「３」や「12」に近い値になるであろうことは想像するに難くありません。

$y=f(x)=x^{3}$ を微分して出てくる結果は「 $3x^{2}$ 」と言ってよさそうです。

■「 $\bm{(}\bm{x}+\bm{a}\bm{)}$ のｎ乗」の展開式。「 $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ 」の係数に注目■

ここまで見てきた、 $y=f(x)=x$ 、 $y=f(x)=x^{2}$ 、そして $y=f(x)=x^{3}$ と、３つの関数を微分した結果を見比べると、あるパターンが見えてきます。

繰り返しになりますが、

　　　　 $\bm{y}=\bm{x}^{\bm{1}}$ をｘで微分すると「１」

　　　 $\text{　}\bm{y}=\bm{x}^{\bm{2}}$ をｘで微分すると「 $\bm{2}\bm{x}$ 」

　　　　 $\bm{y}=\bm{x}^{\bm{3}}$ をｘで微分すると「 $\bm{3}\bm{x}^{\bm{2}}$ 」

です。

いずれも微分した結果は、もとの関数の「ｘの何乗」という指数部分の数字が前に出てきて、ｘの指数はもとの「何乗」の数字よりも１つ小さい値になっています。

「何乗」というのを「ｎ乗」と表せば、「 $y=x^{n}$ 」という関数をｘで微分すると、その結果は、

　　　　　　　　　　　　　 $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ 　

という形です。

まさに、かつて習った公式で、これは、ｎ乗がいくらでも当てはまる、というのです。

このように､丸暗記で機械的にやってしまえるのは簡単・便利で嬉しいことではありますが、しかし、なぜ、そんなふうにやってしまってよいのでしょうか。

まず、ｎが自然数の場合ですが、これは「 $(x+a)^{n}$ を展開すると、その展開式にはある規則性がある」ということと関係しています。

今一度、 $(x+a)^{3}$ を例に考えてみます。

これは、さっきも述べたとおり $(x+a)(x+a)(x+a)$ のことです。

カッコが３つあって、それぞれのカッコの中には「ｘ」と「ａ」という２つの要素が入っているわけですが、これを「展開する」とは、

①３つあるカッコそれぞれから、「ｘ」か「ａ」か、どちらかを選んで、選んだ３つを掛ける

②考えられる全ての「ｘ」と「ａ」の組み合わせでそれを行い、掛けて出てきたものを全部足す

という作業を意味します。具体的には、

・.３つのカッコ全てから「ｘ」を選ぶ・・・・・・・・ $x\times x\times x=x^{3}$

・最初のカッコから「ｘ」、真ん中のカッコも「ｘ」、最後のカッコは「ａ」・・・ $x\times x\times a=ax^{2}$

・最初のカッコから「ｘ」、真ん中のカッコは「ａ」、最後のカッコは「ｘ」・・・ $x\times a\times x=ax^{2}$

・最初のカッコから「ｘ」、真ん中のカッコは「ａ」、最後のカッコも「ａ」・・・ $x\times a\times a=a^{2}x$

・最初のカッコから「ａ」、真ん中のカッコは「ｘ」、最後のカッコも「ｘ」・・・ $a\times x\times x=ax^{2}$

・最初のカッコから「ａ」、真ん中のカッコは「ｘ」、最後のカッコは「ａ」・・・ $a\times x\times a=a^{2}x$

・最初のカッコから「ａ」、真ん中のカッコも「ａ」、最後のカッコは「ｘ」・・・ $a\times a\times x=a^{2}x$

・３つのカッコとも「ａ」を選ぶ・・・・・・・・・ $a\times a\times a=a^{3}$

という８パターンが考えられて、これらを全て足すと、

　　　　 $\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{3}\bm{a}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{a}^{\bm{2}}\bm{x}+\bm{a}^{\bm{3}}$

とまとまって、当然のことではありますが、さっき計算したのと同じ式になります。

またもや繰り返しになってしまいますが、「ａ」という文字を⊿ $x$ に置き換えれば、

　　　　 $\bm{x}^{\bm{3}}+\bm{3}$ （ $\text{⊿}\bm{x})\text{・}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}($ Δ $x)^{2}\text{・}\bm{x}+($ Δ $x)^{3}$

です。

$\text{⊿}y=(x+$ ⊿ $x^{3})-x^{3}$ を計算すると、さっき見たように $x^{3}$ の項は差し引かれて消えて、

　 $\text{⊿}\bm{y}=\bm{3}\bm{(}\text{⊿}\bm{x}\bm{)}$ ・ $\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}$ （Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}$ ・ $\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{3}}$

だけが残ります。

これを⊿ｘで割ると、それぞれの項の⊿ｘが１つずつ約分されて消えるので、

　　 $\bm{3}\bm{x}^{\bm{2}}+\bm{3}\bm{(}\text{⊿}\bm{x}\bm{)}$ ・ $\bm{x}+\bm{(}$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{2}}$

となります。

そうすると、極々微々たる値「⊿ｘ」を含まない項は「 $3x^{2}$ 」のみになってしまいます。それが故に、 $y=x^{3}$ を微分すると $3x^{2}$ になったわけです。

この結果が出てきた最大のポイントは、「 $(x+a$ ）の３乗」を展開したときに「 $ax^{2}$ 」の項の係数（ $(x+\text{⊿}x)^{3}$ であれば、「⊿ $x\text{・}x^{2}$ 」の前に出てくる係数）が「３」という、もとの関数「ｘの３乗」の「３」と同じ値にとなったことにあります。

一体なぜ、ここに「３」なる係数が出てきたのかというと、これは、「３つあるカッコのうちの２つから『ｘ』を選ぶ組み合わせのパターン数」だからです。

先に見たとおり、３つあるカッコのうちの２つから「ｘ」を選ぶ組み合わせは、

・最初のカッコと真ん中のカッコからｘを選ぶ

・最初のカッコと最後のカッコからｘを選ぶ

・真ん中のカッコと最後のカッコからｘを選ぶ

という３パターンです。

そして残り１つのカッコから「ａ」を取ります。それぞれ「ｘを２つとａを１つ」掛けて $ax^{2}$ 。それが３つあるから $3ax^{2}$ になっています。

「３つあるカッコのうち２つから『ｘ』を選ぶ」というのは、「３つあるカッコのどれかひとつだけ『ａ』を選ぶ」ということでもあります。

そうすると、カッコが３つあれば、そのうち１つだけ「ａ」を選ぶパターンは「最初のカッコ」か「真ん中」か「最後のカッコ」かの３つしかありません。

つまり、このパターン数はカッコの数と同じなのです。

カッコが100あればパターン数は100。カッコがｎ個ならば、パターン数は「ｎ」になるわけですが、このカッコの個数「ｎ」とは何かというと、これは「ｎ乗」のｎそのものにほかなりません。

このｎが、 $(x+a)^{n}$ を展開したとき「 $ax^{n-1}$ 」の前にきて「 $nax^{n-1}$ 」になります。

「ａ」を「 $\text{⊿}x$ 」に置き換えれば、「ｎ・ $\text{⊿}x$ ・ $x^{n-1}$ 」です。

そして、この中の⊿ $x$ は分母のΔｘとの約分によって消えてしまいます。

その結果、この項は「 $n\text{・}x^{n-1}$ 」となって、 $\text{⊿}x$ に左右されない値と化します。

これ以外の項は、約分された後にも⊿ｘが残るために極小の値になってしまい、ゼロと同等の扱いを余儀なくされるところとなってしまいます。

と、いうわけで、ｎが自然数の場合、 $y=f(x)=x^{n}$ を微分すると、

　　　　　　 $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$

だけが”目に見える値”として残る、というわけです。

もし、 $x^{n}$ の前に何か係数「ａ」がついている場合、 $y=f(x)=ax^{n}$ という関数であれば、それに「ａ」を掛けるだけ。

　　　　　 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\bm{a}$ ・ $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$

です。

■「マイナスｎ乗」でも同じ公式が使える■

この「 $x^{n}$ をｘで微分すると、 $n$ ・ $x^{n-1}$ になる」という微分計算の公式は、ｎが自然数でなくとも、たとえば「マイナスｎ乗」の場合でも同じように使えます。

すなわち、 $y=f(x)=x^{-n}$ という関数をｘで微分すると、

　　　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{d}\bm{y}}{\bm{d}\bm{x}}=\bm{(}-\bm{n}\bm{)}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{n}-\bm{1}}$

になります。

本当かどうか、ここで、再び微分の定義式により。

　　　　　　 $\displaystyle \frac{\mathbf{\Delta} \bm{y}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}=\frac{\bm{f}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}-\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

$=\displaystyle \frac{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{-\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}\bm{)}^{-\bm{n}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$ 　　　　……③

を計算してみます。

まず、 $x^{-n}$ とは何かというと、「0.5乗とな一体どういう意味なのか」の中に出てきた指数法則のとおり、

　　　　　　 $\displaystyle \bm{x}^{-\bm{n}}=\frac{\bm{1}}{\bm{x}^{\bm{n}}}$

です。

つまり、③を書き換えれば、

　　　　　　 $\displaystyle \frac{\frac{\bm{1}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}}-\frac{\bm{1}}{\bm{x}^{\bm{n}}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

となります。

分子にある分数を通分してまとめると、

　　　　　　 $=\displaystyle \frac{\frac{\bm{x}^{\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}\bm{x}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

$=\displaystyle \frac{\bm{x}^{\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}}{\bm{\{}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}\bm{\}}\text{・}\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

という形にできます。

ここで、まず分子に注目。これを書き換えれば、

　　　　　　 $\bm{x}^{\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}+$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}=-\bm{\{}\bm{(}\bm{x}+$ Δ $\bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}-\bm{x}^{\bm{n}}\bm{\}}$

です。

これは、ｎが自然数のときの $y=f(x)=x^{n}$ の微分の定義式の分子「 $f(x+$ Δ $x)-f(x)$ 」にマイナスをつけたものと同じです。

そこで、これを

　　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{x}^{\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}}{\bm{\{}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}\text{・}\bm{x}\bm{\}}\text{・}\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

　　　　　　 $=\displaystyle \frac{-\bm{1}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$ ・ $\displaystyle \frac{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}-\bm{x}^{\bm{n}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

と書き換えてみれば、この式の後ろ半分は「 $y=x^{n}$ をｘで微分したもの」と同じになります。

公式を使えば、これは、

$=\displaystyle \frac{-\bm{1}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$ ・｛ $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}\bm{\}}$

ということです。

今度は、この式の前の部分の分母に目を向けてみます。

Δｘはほとんどゼロといってもいいくらいの極々わずかな値です。

とするならば、（ｘ+Δｘ）は「ほとんど『ｘ』といっても差し支えない値」として扱っていいのではないでしょうか。

この「ｘ+Δｘ」を思い切って「ｘ」としてしまえば、この式は、

　　　　　　 $=\displaystyle \frac{-\bm{n}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}}{\bm{x}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$

$=\displaystyle \frac{-\bm{n}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}}{\bm{x}^{\bm{2}\bm{n}}}$

とまとまります。

分母の「 $x^{n}$ ・ $x^{n}$ 」が「 $x^{2n}$ 」に変わっていますが、これも「0.5乗とは一体どういう意味なのか」の中に出てきた指数法則に基づきます。

さらに、分母は「『ｘの2ｎ乗』分の１」ということですから、これまた指数法則によって、

　　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{1}}{\bm{x}^{\bm{2}\bm{n}}}=\bm{x}^{-\bm{2}\bm{n}}$

と書き換えられます。

これを用いると、

　　　　　　 $\displaystyle \frac{-\bm{n}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}}{\bm{x}^{\bm{2}\bm{n}}}$

$=-\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{2}\bm{n}}$

という形にできます。

そのうえさらに、この式の「 $x^{n-1}$ ・ $x^{-2n}$ 」の部分は、またもや再び指数法則によって、

　　　　　　 $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{2}\bm{n}}=\bm{x}^{\bm{(}\bm{n}-\bm{1}\bm{)}-\bm{2}\bm{n}}$

$=\bm{x}^{-\bm{n}-\bm{1}}$

とすることができてしまいます。

その結果、この式は、

　　　　　　 $=-\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{2}\bm{n}}$

$=-\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{n}-\bm{1}}$

というシンプルな形になってしまうのです。

最初と途中と最後の結果をかいつまんで書けば、 $y=f(x)=x^{-n}$ という関数をｘで微分した結果は、

　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{d}\bm{y}}{\bm{d}\bm{x}}=\mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{\mathbf{\Delta} \text{ｙ}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}=\mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} x\text{）^{}-\bm{n}}-\bm{x}^{-\bm{n}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

　 $=\displaystyle \mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{\bm{x}^{\bm{n}}-\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}}{\bm{\{}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}\text{・}\bm{x}\bm{\}}\text{・}\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

　　　　　　　　 $=\displaystyle \mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{-\bm{1}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$ ・ $\displaystyle \frac{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}-\bm{x}^{\bm{n}}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$

　　　　　　　　 $=\displaystyle \mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{-\bm{1}}{\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$ ・｛ $\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}\bm{\}}$ 　←ここで「Δｘ」をゼロ同然の扱いにする。

　　　　　　　　 $=\displaystyle \frac{-\bm{n}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}}{\bm{x}^{\bm{n}}\text{・}\bm{x}^{\bm{n}}}$ ←もはやΔｘはなくなったので「lin」も不要に。

　 $=-\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{\bm{n}-\bm{1}}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{2}\bm{n}}$

$\displaystyle \frac{\bm{d}\bm{y}}{\bm{d}\bm{x}} =-\bm{n}$ ・ $\bm{x}^{-\bm{n}-\bm{1}}$

と、見事、公式通りの形になりました。　　　◇