「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」年とは、具体的に何年なのか


■指数法則を対数に変えると便利な公式ができる■

関数電卓や表計算ソフト『Ｅｘｃｅｌ』には、その対数がいくらになるのか、具体的な数値を出してくれる機能があります。

が、比較的手軽な関数電卓の場合には計算できる対数は、底が10の常用対数（log_{10}Aという形の対数）か、底がネイピア数ｅの自然対数だけです。（ネイピア数「ｅ」については、年複利回数が大きくなると残高が定額に近づく理由とは、を見て下さい。 ）


この場合、「金利４％で複利運用したとき、１００万円の元本が１３０万円になる年数」、すなわち、底が1.04の「log_{1.04}1.3」の値を直接出すことができません。


ただ、直接出すことはできないものの、この「log_{1.04}1.3」を常用対数か自然対数に置き換えれば、間接的に計算することは可能です。


もちろん、Ｅｘｃｅｌを使えば、底がいくらの対数でもすぐに計算できます（具体的なやり方は、Exceｌで対数の値を計算してみる、をご覧下さい。）。

が、ここでは、あえて「常用対数か自然対数しか計算できないとき」の計算のやり方を紹介します。


というのは、高校数学の公式集などでは、「真数がいくらのとき、常用対数の値はいくらになるか」をまとめている常用対数表がついていて、この表の値を調べれば、関数電卓さえも使わずに、底がいくらの対数でも、その値を知ることができるからです。


そのために、まずは、かつて習った対数の公式を思い出しておきます。

この対数の公式は、、「0.5乗とは一体どういう意味か」で出てきた指数法則から考えると、その意味がすぐにわかると思います。

で出てきた指数法則から考えると、その意味がすぐにわかると思います。


（対数の公式その１）……\bm{a}^{\bm{0}}=\bm{1}の変形

底がいくらであっても、真数が１ならば、その対数の値は０


指数法則

　　　　　　　\bm{a}^{\bm{0}}=\bm{1}


を「ａは何乗すると１になるか」という対数に書き換えると、


　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{1}=\bm{0}

です。

どんな数も「ゼロ乗」は「１」、底がいくらであっても、真数が「１」の対数は「ゼロ」になります。


（対数の公式その２）……\bm{a}^{\bm{1}}=\bm{a}の変形

底と真数が同じ対数の値は「１」である。


たとえば、底が２、真数も２という対数「log_{2}2」とは、「（底の）２が（真数の）２にするには何乗すればいいか」という意味です。

どんな数も「１乗」した結果は、その数自身と同じです。


底と真数をａとすれば、


　　　　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}=\bm{1}


です。


これを少し発展させて、たとえば真数がa^{2}の場合はどうなるかというと、もともと対数の値は「底の値を何乗すると真数になるのか」ですから、底がaで、真数がa^{2}ならば、対数の値は「２」。真数がa^{n}ならば、対数の値は「ｎ」です。


つまり、

　　　　　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{n}


というわけです。


（対数の公式その３）

\bm{a}=\bm{b}のとき、底が同じで真数がそれぞれａ、ｂの対数もやはり等しい。


たとえば、ａもｂも「c^{n}」で表される同じ値だとします（ｃは０より大きく、１でない実数）。

すなわち、


　　　　　　　　　\bm{a}=\bm{c}^{\bm{n}} \bm{b}=\bm{c}^{\bm{n}}


です。


この「ｎ乗」を対数で表現すると、


　　　　　　　　　log_{c}a=n　　　log_{c}b=n


と、どちらの値もｎになります。よって、


　　　　　　\bm{a}=\bm{b}ならば　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}


が成り立ちます。


たとえばａなり、ｂなりのある値があって、それを真数とした対数にすることを「対数をとる」などと呼ばれます。

２つの値の間で等式が成り立っていれば、両辺対数を取ってもやはり等式が成り立ちます。

いかにも当たり前な感じですが、実はこの先、この公式が非常に重要になります。


（対数の公式その４）

真数が「\bm{x}×\bm{y}］というような掛け算になっている対数は、底が同じ値の対数の足し算にすることができる。


底が「a」の対数でこれを式で表現すると、、


            \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}+\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


という形になる、という公式です。


これは、指数関数の「掛け算を足し算にすることができる」法則


　　　　　　　\bm{a}^{\bm{m}}\times \bm{a}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


から説明されます。


たとえば、\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}で。\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}だとします。そうすると「a^{m}\times a^{n}=x\times y」ですから、上の指数法則は、


             　\bm{x}\times \bm{y}=\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


と表現できます。


ここで、両辺について「ａ」を底とする対数を取ってみます。


　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


ですが、対数の公式その２で出てきた、「log_{a}a^{n}=n」を用いると、


　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{m}+\bm{n}　　　　　　……（Ａ）


になります。


一方、\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}と\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}を、それぞれａを底とした対数にすると、


　　　　　　　\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}→　　\bm{m}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}

          　　\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}　 →　　\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


です。mは「log_{a}x」であり、nは「log_{\bm{a}}y」で表現できるわけです。

これを、先ほどの｛Ａ｝式に取り入れると、


　　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{s}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{m}+\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}+\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


と、最初に登場した公式になります。


もし、左辺の(x\times y)の部分が\displaystyle \frac{x}{y}という分数だったらどうなるでしょうか。


これもやはり指数法則


　　　　　　　\displaystyle \bm{a}^{\bm{m}}\div \bm{a}^{\bm{n}}=\frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{n}}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}


との関連で考えることができます。


ここでもa^{m}=x、a^{n}=yとすると、「\displaystyle \frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{n}}}=\frac{\bm{x}}{\bm{y}}」となりますから、上の指数法則は、


　　　　　　　\displaystyle \frac{\bm{x}}{\bm{y}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}


になり、両辺ともａを底とする対数にすると、


　　　　　　\displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\frac{\bm{x}}{\bm{y}}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}=\bm{m}-\bm{n}　　……（Ｂ）


です。

先ほどと同じく、ｍは「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{s}」であり、ｎは「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}」ですから、これをに（Ｂ）式に取り入れると、


　　　　　　\displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\frac{\bm{x}}{\bm{y}}\bm{)}=\bm{m}-\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}-\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


という形になります。


そこで

（対数の公式その５）

真数が「\displaystyle \frac{\bm{x}}{\bm{y}}］というような割り算になっている対数は、底が同じ値の対数の引き算にすることができる。


ということになります。


（対数の公式その６）

真数が「ｎ乗」という形になっている場合、真数から「ｎ乗」を取り外した対数と「ｎ」の掛け算にすることができる。


底をａ，真数をｂとした対数でこれを表現すると、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{n}・\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}


真数ｂから「ｎ乗」を取ってしまい、「ｎ」だけを前に出せる、という公式です。


これは、「ａのｍ乗をさらにｎ乗すると、ａの（ｍ×ｎ）乗になる」という指数法則


　　　　　　\bm{(}\bm{a}^{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


から説明することができます。


まず、\bm{a}^{\bm{m}}が「ｂ」という値だとします。\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{b}ですから、上の指数法則に当てはめれば、


　　　　　　\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


です。

ここで両辺、ａを底とした対数を取ってみます。


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


ですが、今回も左辺は対数の公式その２によって、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}=\bm{m}\times \bm{n}　　　……（Ｃ）


とすることができます。


一方、「\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{b}」から「ｍ」を対数で表現すると、


　　　　　　\bm{m}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}


です。

このｍの表現を（Ｃ）式に取り入れると、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{m}\times \bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}\times \bm{n}


となり、「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}」と「ｎ」の掛け算になる、という公式が出てきます。


（対数の公式その７）

「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}」という対数は、「\displaystyle \frac{\text{ｂを真数とした対数}}{\text{ａを真数とした対数}}」（分母、分子の対数の底は同じ値で、０より大きく、１でない数）という分数に変換できる。


たとえば、「log_{a}b」を取りあえずｋなどという適当な値に置き換えます。つまり、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\bm{k}→　\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}


です。

この「\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}」の両辺について、「ｃ」を底とする対数を取ってみます。


　　　　　　\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}

         　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}


ここで、右辺の「ｋ乗」は対数の公式その６によって前に出すことができます。

すなわち、


　　　　　　\bm{k}・\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}

になります。


これを変形すると、


　　　　　　\displaystyle \bm{k}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}}{\bm{l}\bm{o}\bm{b}_{\bm{c}}\bm{a}}


ですが、「ｋ」は「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\bm{k}」ということでしたから、これは結局、


　　　　　　\displaystyle \bm{k}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}}


となって、これが公式その７です。


公式が長くなってしまいましたが、「金利４％のときに、元本が１．３倍になる年数」を表す対数「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」の具体的な値を計算するときには、この公式その７を使いますす。


■「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」を底が10の常用対数に変換する■

「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」という対数は、「公式その７」があれば、常用対数でも自然対数でも、どちらにも簡単に変換できます。

公式その７の右辺の底「ｃ」のところに、常用対数ならば「10」、自然対数なら「ｅ」を当てはめれば、分母と分子の具体的な値が特定できます。あとは、割り算をするだけです。


ここでは、底が10の常用対数に変換してみましょう（自然対数に変換しても、答えはもちろん同じです）。


公式その７を使うと、\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}は、


　　　　　　\displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}


という分数になります。


分母・分子それぞれを関数電卓で計算すると、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}=\bm{0}\bm{.}\bm{1}\bm{1}\bm{4}

            \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{1}\bm{7}


という値が出てきます。

これを割り算すると、「金利４％のとき、元本が１．３倍になる年数」は


　　　　　　\displaystyle \frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{1}\bm{1}\bm{4}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{1}\bm{7}}=\bm{6}\bm{.}\bm{7}（年）


と出てきました。



■金利５％の複利運用で元本が２倍になる年数は？■

同じようなやり方で、本文の（２）で出てきた「金利が５％のとき、元利が２倍になる年数」が計算できます。


元本が２倍になる年数Ｔを表す対数は、


　　　　　　\bm{T}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}\bm{2}


です。

これを先ほどと同じように常用対数の形にすれば、


　　　　　　\displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}\bm{2}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}


となります。

分母・分子を関数電卓で計算すると、


　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}=\bm{0}\bm{.}\bm{3}\bm{0}\bm{1}

　　　　　　\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{2}\bm{1}\bm{2}


よって、元本が２倍になる年数Ｔは、


　　　　　\displaystyle \frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{3}\bm{0}\bm{1}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{2}\bm{1}\bm{2}}=\bm{1}\bm{4}\bm{.}\bm{2}\bm{(}年）


です。　　　◇