「損益がゼロになる償還時レート」を求めてみる


【考え方】

損益がゼロになるのは、


償還時の為替差損のマイナス分＝受け取る利払い分合計　　……（１）


となる為替レート。


その償還時レートをＸとして、（１）の等式を立てて、その等式をＸについて解けば出てくる。


当初レート：Ａ

償還時レート：Ｘ

利払い回数合計：ｎ

クーポン：Ｃ


とすると、（１）の等式は、


     \displaystyle \frac{\bm{1}\bm{0}\bm{0}\bm{(}\bm{A}-\bm{X}\bm{)}}{\bm{A}}=\bm{\{}\bm{A}・\displaystyle \bm{n}-\frac{\bm{(}\bm{A}-\bm{X}\bm{)}}{\bm{n}}・\displaystyle \sum_{\bm{i}=\bm{1}}^{\bm{n}}\bm{i}\bm{\}}\frac{\bm{C}}{\bm{A}}


これをＸについて解いてみる。


【解き方・途中式】

両辺にAを掛ければ、両辺の\displaystyle \frac{1}{A}が消える。

　　　 100(A-X)=\{A・n-\displaystyle \frac{(A-X)}{n}・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i\}C



カッコを開いて、X関連の項を取りあえず右辺に、それ以外は左辺に移項する。

「Σ」は単に「1+2+3+……+n」を略したマークなので、「ひとつの数」的なものとして扱ってＯＫ。


　　　100A-100X=A・n・C-\displaystyle \frac{A}{n}・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C+\displaystyle \frac{X}{n}・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C

     100A-A・n・C+\displaystyle \frac{A}{n}・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C=\displaystyle \frac{X}{n}・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C+100X


両辺の「ｎ分の１」が少々うざいので、ここで、両辺にｎを掛けておく。


　　　100nA+A・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C-A・n^{2}・C=100nX+X・\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C


左辺はＡについて、右辺はＸについてまとめる。


　　　(100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C-n^{2}・C)A=(100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C)X


右辺のカッコ内「100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C」で両辺を割れば（つまり、「100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i・C」左辺の分母に持ってくれば）、「Ｘ＝」の式になる。


Ｘ＝を左辺すると、


　　　X=\displaystyle \frac{(100n+\sum_{i=1}^{n}i\text{・}C-n^{2}\text{・}C)}{(100n+\sum_{i=1}^{n}i\text{・}C)}・A


ここで、分母の「100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i\text{・}C」が 分子にもあることに注目。

分子を「（100n+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i\text{・}C）-n^{2}\text{・}C」と考えて、上式をまとめると、


　　　　償還時レート\displaystyle \bm{X}=\bm{(}\bm{1}-\frac{\bm{n}^{\bm{2}}\text{・}\bm{C}}{\bm{1}\bm{0}\bm{0}\bm{n}+\sum_{\bm{i}=\bm{1}}^{\bm{n}}\bm{i}\text{・}\bm{C}}\bm{)}・\bm{A}



となります。◇